今回は, まず連立一次方程式の解について説明し, それから解の自由度について解説します!!
rankの計算ができることを前提に話が進むので, 復習したい方は以下の記事を読んでみましょう.
・連立一次方程式が解が持つかどうか判定できるようになる.
・解の自由度を求められるようになる.
連立一次方程式の解の分類
連立方程式の解
分類の前に連立一次方程式の解の自由度について考えます.
まず, 連立一次方程式の解を定義します.
連立一次方程式
\( \left\{\begin{array}{}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots a_{2n}x_{n} = b_{2}
\\ \vdots
\\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots a_{mn}x_{n} = b_{m}\end{array}\right. \)
を満たす \( \begin{pmatrix}x_1
\\x_2
\\ \vdots
\\x_n \end{pmatrix} \) が存在するとき, 連立一次方程式は解をもつといい,
そうでないとき連立一次方程式は解をもたないという.
上記は, 中学・高校で学習した一次方程式の一般的な形となっています.
行列を用いてこの方程式を表すと,
\( A = (a_{ij})_{1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}\)を係数行列, \( \mathbf{x} = \!{}^t (x_1 \cdots x_n) \), \( \mathbf{b} = \!{}^t (b_1 \cdots b_m) \)
とおくことで, \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) と表されます.
連立一次方程式の解の存在性について, 次のような定理があります.
連立一次方程式の解の分類
ある連立一次方程式\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)に対して, \( (A | \mathbf{b} ) \)を拡大係数行列とするとき
\( \mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b}) \) \(\Leftrightarrow \)連立一次方程式の解は存在する.
\( \mathrm{rank}A < \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b})\) \( \Leftrightarrow \)連立一次方程式の解は存在しない.
前回学習したrankを上のように応用することで, 連立方程式が解を持つか判定できます！
この定理は便利なので, 使いこなせるようにしましょう！
また, 連立一次方程式には「解の自由度」という概念があります.
核第係数行列については以下の記事を参考にしてください！
解の自由度
連立一次方程式の解の自由度
n個の未知数\( \mathbf{x} = \!{}^t(x_1\ \cdots \ x_n) \)からなる解を持つ連立一次方程式\(A \mathbf{x} = \mathbf{b} \)に対して,
方程式の解を全て表すために必要な任意定数の個数を解の自由度という.
「任意定数」というのは, 簡単に言えば「好き勝手決めていい定数」のことです！
高校の頃に学習した「積分定数」も任意定数の一つです.
また, 先ほどのrankに関する定理から,
解の自由度 = n – rank\( A \)
が成り立ちます.
解の自由度は, 方程式を実際に解いてみると理解が深まります.
自由度のある連立方程式を解くのはもう少し後で解説するので「こんなものがあるんだ」程度に思っておいてください.
以上の内容について, 具体的に問題を解いてみましょう!
問：連立一次方程式の解の分類
次の2つの方程式がそれぞれ解を持つか判定し, 解を持つ場合はその解を求めよ.
(1) \( \left\{ \begin{array}{}
x_1 + x_2 + 2x_3 = 1 \\
x_1 – 2x_2 + 3x_3 = 2 \\
2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = -1\\
\end{array} \right. \)
(2)\( \left\{\begin{array}{}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\
x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \\
\end{array}\right. \)
[解答]
(1) 拡大係数行列 \( (A | \mathbf{b} )\)は
\( (A | \mathbf{b} ) = \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -2 & 3 & 2 \\
2 & 2 & 4 & -1
\end{array} \right) \)
となります. このとき, \( (A | \mathbf{b} ) \) を階段化すると
\( (A|\mathbf{b}) \to \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array} \right)
\)
となるので, \( \mathrm{rank} A = 2 < 3 = \mathrm{rank} (A | \mathbf{b}) \)
がわかります. よって, 連立方程式は解を持ちません.
(2) 拡大係数行列 \( (A | \mathbf{b} )\)は
\( (A | \mathbf{b} ) = \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 &1
\end{array} \right) \)
となります. このとき, \( (A | \mathbf{b} ) \) を階段化すると
\( (A|\mathbf{b}) \to \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{array} \right) \)
となるので, \( \mathrm{rank} A = \mathrm{rank} (A | \mathbf{b}) = 3 \) がわかります.
よって, 連立方程式は解を持ちます.
さらに, 階段化に引き続き拡大係数行列を簡約化していくと
\( \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{array} \right) \to
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array} \right) \)
となるので, 連立方程式の解は
\( \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \)
となります.
以上が「解の分類と自由度」という話です.
rankの使い方の一つがわかったのではないでしょうか？
次回は「行列の簡約化」を解説します.
あと少しで方程式を解く準備が整うので, これまでの内容をきちんと理解しておきましょう！
それでは, 今回のまとめに入りましょう‼︎
「解の分類と自由度」のまとめ
・連立一次方程式\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)の解は,
\( \mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b} ) \)のとき存在する.
\( \mathrm{rank}A < \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b} ) \)のとき存在しない.
・解の自由度とは,
n個の未知数からなる解を持つ連立一次方程式\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)における, \( n-\mathrm{rank}A\)のこと
次回は「行列の簡約化」
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