【入門線形代数】係数行列と拡大係数行列-連立一次方程式-

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この章では中学生の頃から扱ってきた
連立一次方程式を行列を使って解いていこうと思います.

「なぜわざわざ行列を使って解くのだろうか」
「いままでつかわなくてもとけていたよ」
と思う方もいるかもしれません.
実は行列をつかって連立一次方程式を解くメリットはいろいろあります.
行列を通して連立一次方程式が今までとは少し違って見えるようになると思います.
その手始めとして係数行列と拡大係数行列を紹介します!!

「係数行列と拡大係数行列」目標

・拡大行列と拡大係数行列について理解する!

係数行列と拡大係数行列

具体的な連立方程式を考えて,係数行列と拡大係数行列を定義することにします.
そのためにまず,連立方程式を行列を用いて表すことをしていきます.

今回は具体例として以下の連立方程式\( (*) \)をつかっていきます.

\( \begin{cases}2x + 5y = 1 & \cdots (1)\\x + 2y = 3 & \cdots (2)\end{cases} \cdots (*) \)

では、この連立一次方程式\( (*) \)について,左辺を行列の積で表してみましょう.
左辺の2式「x + 2y」と「2x + 5y」は(2,2)型行列と(1,2)型行列の積を利用し以下のように書けます.

\( \begin{pmatrix} 2 & 5\\1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \)
実際にこの行列積展開することによって\( (1),(2) \)の左辺は表現されます.

次に右辺を見ていきましょう.右辺については数が並んでいるだけですので
\( \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \)と書くことができます.

以上の右辺と左辺の行列での表現を「=」で繋ぐと連立一次方程式\( (*) \)は以下のように表現することができます.
\( \begin{pmatrix} 2 & 5\\1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \)

これにて連立方程式を行列を用いて表すことができました.

この左辺の2×2行列に注目すると,この行列は連立方程式の係数を取り出した行列であることがわかるかとおもいます!!
この係数を取り出した行列のことを係数行列といいます!!

さらに係数行列と右辺の2×1行列もあわせて
\( \left(\begin{array}{cc|c}2 & 5 & 1\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) \)
と書かれた行列のことを拡大係数行列といいます!!

この係数行列と拡大係数行列について図をつけておきます.

では,具体例を見ましたのでこのことを一般化して定義とします.

係数行列と拡大係数行列

係数行列と拡大係数行列

連立一次方程式
\( \left\{\begin{array}{}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots a_{2n}x_{n} = b_{2}
\\ \cdots
\\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots a_{mn}x_{n} = b_{m}\end{array}\right. \)
に対して、

とおくとき

\( A \)を係数行列.
\( (A | B) = \left(\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \cdots  & a_{1n} & b_1
\\a_{21} & a_{22} & \cdots &  a_{2n} & b_2
\\& & \cdots & &
\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots &  a_{mn}  & b_m\end{array}\right) \)を拡大係数行列という.

ここまでで連立方程式の係数行列と拡大係数行列が何であるかの話をしました
この二つが求めることができないと連立方程式を求めることができませんのでここからは実際に係数行列と拡大係数行列を求めてみることにしましょう.

例題:係数行列と拡大係数行列

例題:係数行列と拡大係数行列

次の連立一次方程式について係数行列と拡大係数行列を求めよ.
\( \left\{\begin{array}{}2x + 6y = -1
\\4x + 8y = 9
\\5x – 6y = -11\end{array}\right. \)

最初なので敢えて行列の積に分解してから係数行列と拡大係数行列を求めていますが,慣れてきてしまえば直接求めてしまっても構いません.

それでは問を解いてみましょう!

問:係数行列と拡大係数行列

問:係数行列と拡大係数行列

次の連立一次方程式について係数行列と拡大係数行列を求めよ.
\( \left\{ \begin{array}{}x + 2y + z + 5w= -1
\\x – 2y + 8z – 9w= 2\end{array}\right. \)

以上が係数行列と拡大係数行列についてです.
ここまでの話では連立方程式の表現の話で,まだ行列表現のメリットを実感しづらいかと思います.
この先の記事ではそのあたりが明確になってきますので,ぜひ楽しんで学習を進めてください!!

それでは今回のまとめに入ります!!

「係数行列と拡大係数行列」のまとめ

「係数行列と拡大係数行列」のまとめ

・係数行列とは,連立方程式の係数を取り出した行列
・拡大係数行列とは,連立方程式の係数行列と右辺を合わせた行列

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