【入門線形代数】掃き出し法-連立一次方程式-

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「掃き出し法」では,実際に行列の簡約化を用いて連立一次方程式を解くということをやっていきます!!
この連立一次方程式を解くという行為は以降様々な場面で登場する非常に大切なものですので,
しっかりとマスターしていきましょう!

「掃き出し法」の目標

掃き出し法を用いて連立一次方程式を解くことができるようになること!

この記事では簡約行列がベースになっていますので,こちらのリンクから復習してからこの記事を読むとさらに理解が深まるかとおもいます

掃き出し法

掃き出し法

では早速掃き出し法を定義しましょう!

掃き出し法

行列の行基本変形を行い,簡約行列を作り連立方程式を解く方法のことを掃き出し法という.

この定義を見てなぜ簡約行列を作ることで連立一次方程式が解けるの?
と疑問を持った方もいるかもしれませんのでその部分を少し考察していくことにしましょう!

連立一次方程式

\( \left\{\begin{array}{}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1}
\\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{13}x_{3} +\cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}
\\a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} + \cdots + a_{3n}x_{n} = b_{3}
\\ \cdots
\\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}\end{array}\right. \)

の解について考えていくことにしましょう.

この方程式の拡大係数行列に対して簡約化を用いて
最終的に係数の部分が簡約行列の形である.すなわち,

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_{1}
\\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{2}
\\0 & 0 & 1 & \cdots &0&c_{3}
\\ \cdots
\\0 & 0& 0& \cdots & 1 & c_{m}\end{array}\right) \)

この形まで変形できたとすると,連立方程式の解は
\( \begin{pmatrix}x_1
\\ x_2
\\ x_3
\\ \cdots
\\ x_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1
\\c_2
\\c_3
\\ \cdots
\\ c_m\end{pmatrix} \)とわかります.
いかがでしょうか?この解がスッと理解できましたでしょうか?

まだよくわからないという方の為にもう少し掘り下げてみることにしましょう!
拡大係数行列を書き直してみると

\(\left( \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 
\\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 
\\0 & 0 & 1 & \cdots &0
\\ \cdots 
\\0 & 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right) \begin{pmatrix}x_1
\\x_2
\\ x_3
\\ \cdots
\\x_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1
\\c_2
\\ c_3
\\ \cdots
\\c_m \end{pmatrix} \)

となりますので,この行列の積を連立一次方程式で表す
\( \left\{\begin{array}{}x_{1}+0+0+\cdots+0=c_{1}\\0+x_{2}+0+\cdots+0=c_{2}\\0+0+x_{3}+\cdots+0=c_{3}
\\ \cdots
\\0+0+0+\cdots+x_{n}=c_{m}\end{array}\right. \)

というように書けます

これは紛れもなく連立方程式の解
\( \left\{\begin{array}{}x_{1}=c_{1}\\x_{2}=c_{2}\\x_{3}=c_{3}
\\ \cdots
\\x_{n}=c_{m}\end{array}\right. \)
を表していますね!!
ここまでのことが掃き出し法を用いて簡約化したことにより連立方程式の解が求まる理由です.

ここで,実際に例題を解いてみることにしましょう!

例題:掃き出し法

例題:掃き出し法

次の連立方程式を掃き出し法を用いて解け.
\( \left\{\begin{array}{}x_{1}+ 2x_{2} + 3x_{3} = 2
\\2x_{1} – x_{2} + 2x_{3} = 3
\\-x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} = 2 \end{array}\right. \)

それでは,例題を参考にしてしっかりと自分で計算できるようになるために
問をやってみることにしましょう!

問:掃き出し法

見出し

(1)\( \left\{\begin{array}{}2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4
\\4x_{1} + x_{2} – 3x_{3} = -2
\\-x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 2\end{array}\right. \)
(2)\( \left\{\begin{array}{}3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2
\\x_{1}+x_{2}-3x_{3}=-2
\\6x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=4\end{array}\right. \)
(3)\( \left\{\begin{array}{}2x_{1} + 4x_{2} – x_{3} = 3
\\6x_{1} -3 x_{2} – 5x_{3} = 9
\\-4x_{1} – 8x_{2} + 2x_{3} = 4\end{array}\right. \)

今回の問では解なしのパターンも任意定数を指定するパターンも解きました.どのパターンでも対応できるように練習しておくことが重要です!

また、答えの最後の答えの書き方が(1),(2)で異なりますが,どっちでもいいです笑
ただ,個人の考えでは大学の講義等では(2)のベクトルのような書き方が一般的なように思われます!

以上が「掃き出し法」についての話です!
掃き出し法は今後色々な場面で使いますので必ず計算できるようになりましょう!

それではまとめに入ります!

「掃き出し法」のまとめ

「掃き出し法」のまとめ

・掃き出し法とは,簡約行列を作り連立方程式を解く方法のこと

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