【入門線形代数】行列の階数(rank)-連立一次方程式-

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行列の階数(rank)は他の単元でも必須の重要単元です!!
このrankがわかることにより連立方程式が解けるものなのかそうでないのかを判断できたりしますので
ここでしっかりと抑えてしまいましょう!!

「行列の階数(rank)」の目標

・行列のrankを求めることができるようになる

行列のrankでは階段行列を前提に進みますのでもし階段行列の定義が怪しい人はこちらのページで復習してからこのページを読むと理解が深まるでしょう.

行列の階数(rank)

行列の階数(rank)

行列の階数(rank)

行列 \( A \)に対して、行列の行基本変形を行い階段行列に変形したとき0でない成分が残っている行の数を行列 \( A \)の階数といい、\( \mathrm{rank}A \)で表す

rankに関しては,具体例を挙げて説明していきましょう

例:行列の階数(rank)

例:行列の階数(rank)

二つの行列を
\( A = \left( \begin{array}{crl}1 & 10 & 100
\\0 & 100 & 1
\\0 & 0 & 10\end{array}\right) \)
\( B = \left( \begin{array}{cccc}8 & -5 & 1 & 4
\\0 & 0 & 1 & 9
\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

とすると\( \mathrm{rank}A = 3,\mathrm{rank}B = 2 \)となる.

なぜrankが例のようになるのか少し考えてみましょう
まず,rankの定義よりふたつの行列が階段行列であることはわかるかと思います.
次に定義の「0でない成分が残っている行の数」を考えます.
すると,\( A \)では3つのすべての行が0でない成分を持っています.
従って\( \mathrm{rank}A = 3 \)と判断できます!

一方で\( B \)では3つの行のうち,いちばん下の3行目の成分が0になっていますので
「0でない成分が残っている行の数」は2つとなりますね
従って\( \mathrm{rank}B = 2 \)と判断できます!

ここまでのことを踏まえると
行列のrankとは,階段行列の段の数に一致すると言い換えることもできます!!

ここで行列の基本変形によってrankがかわってしまうことはないの?
と疑問に思われた方もいるかもしれません。
結論から言うと,行列をの変形の方法は一通りではありませんが
どのように行基本変形を行ってもrankは一致します.
これについては一般に知られていますので、今後特に断る必要はありません.

では,問を2問つけておきますのでしっかりrankが判断できるか力試しをしてみてください.

問:行列の階数(rank)

問:行列の階数(rank)

次の行列\( A,B \)のrankを求めよ.

\( A = \left(\begin{array}{crl}1 & 3 & 3
\\3 & 1 & 3
\\3 & 3 & 1\end{array}\right) \)
\( B = \left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 4 & 2
\\3 & -6 & 12 & 6
\\-2 & 4 & -8 & -4\end{array}\right) \)

この問を見た瞬間に「0でない成分が残っている行の数」はA,Bともに3だから
\( \mathrm{rank}A = 3 ,\mathrm{rank}B = 3\)と答えてしまった方は要注意です!
なぜなら,この二つの行列は階段行列ではありませんので,まず階段行列に変形することから始めないといけませんよ!
ということで,問の解答に入りましょう

以上の内容が行列の階数(rank)です.
冒頭にも話しましたがこの内容だけではまだあまりrankの美味しさに触れられていません笑
このrankは解の分類やベクトル空間で活躍しますのでぜひそちらも学習してみてください!!

それでは今回のまとめに入りましょう!!

「行列の階数(rank)」のまとめ

「行列の階数(rank)」のまとめ

・行列のrankとは,行基本変形を行い階段行列に変形したとき0でない成分が残っている行の数

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