【入門線形代数】ベクトルの外積-ベクトル空間-

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「ベクトルの外積」では,ベクトルの内積とは異なるベクトル同士の積である外積を学んでいきます.
ベクトルの外積はベクトルとベクトルの積から構成されるベクトルということで
ベクトル積という別名がついています.
今回はそんなベクトルの外積を3次元について定義していこうと思います!

「ベクトルの外積」目標

・ベクトルの外積を理解して計算できるようになること.

ベクトルの外積

早速ベクトルの外積を定義していくことにしましょう.

ベクトルの外積

ベクトルの外積

零ベクトルではなく,平行でない2つのベクトル\( \pmb{a,b} \)に対して
次の条件を満たすベクトル\( \mathbf{c} \)が定まるとき
\( \mathbf{c} \)を\( \mathbf{a} \)と\( \mathbf{b} \)の外積といい\( \mathbf{a} × \mathbf{b} \)と書く.

(ⅰ)\( \mathbf{c}\perp\mathbf{a},\mathbf{c}\perp\mathbf{b} \)
(ⅱ)\( \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \)の向きはこの順番で,右手の親指,人差し指,中指が向く方向に一致する
(ⅲ)\( \pmb{a,b} \)のなす角\( \theta \)とすると\( \|\mathbf{c}\| = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\mathbf{sin}\theta \)

定義について図を用いて補足することにしましょう.
(ⅰ)は直角であることを言っているだけなので補足は省略します.

(ⅱ)については以下の右手の図を見てください

このように右手の親指、人差し指、中指の順で外積の向きは定められます.
間違えて左手を考えると向きが逆になってしまいますので注意してください.

また,この向きの表現のことを別の表現で
「\( \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \)右手系をなす」という場合もあります.

次に(ⅲ)について補足します.
この\(\mathbf{c} \)は\( \pmb{a,b} \)の作る平行四辺形の面積に等しいといっていますね.
なぜ平行四辺形の面積といえるのか疑問がある方は以下の図を見てください.(図は見やすくするために(ⅱ)で定めた向きを守りつつ90°回転させています)

平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいですので,上図のように面積が導かれます.

以上が外積の定義です.
冒頭に紹介したベクトルとベクトルの積から構成されるベクトルというイメージに
少し近づいたのではないでしょうか?

ではここからは実際に外積を計算できるようにしていきましょう!

定理:成分表示されたベクトルの外積

定理:成分表示されたベクトルの外積

二つのベクトル\( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1
\\a_2 
\\a_3 \end{pmatrix},\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1
\\b_2
\\b_3 \end{pmatrix} \)に対して

ベクトルの外積は \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1
\\a_2 
\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1
\\b_2
\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2
\\a_3 b_1 – a_1 b_3 
\\a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix} \)

この外積の定義を覚えてください.
というのは簡単ですがおすすめの覚え方があるので紹介しておきます.

外積計算のポイントは求めたい以外のたすき掛けです.
どういうことか図を使って説明していきます.

図から
まず1行目の計算を行いたいとき,1行目は無視します.
そして2行目と3行目に関してたすき掛けを行います.
すると以下のように外積の一行目が現れます.

後はこれを2行目3行目に対して繰り返すことで計算が可能です!
いかがでしょうか.ただ字面で覚えるより覚えやすくなったのではないでしょうか

このことを用いて問に取り組んでいきましょう!

問:成分表示されたベクトルの外積

問:成分表示されたベクトルの外積

ベクトル\( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3
\\-1
\\-1 \end{pmatrix},\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2
\\4
\\3 \end{pmatrix},\mathbf{c} = \begin{pmatrix} -2
\\-1
\\1 \end{pmatrix} \)について

\( \mathbf{a} \times \mathbf{b},\mathbf{b} \times \mathbf{c},\mathbf{c} \times \mathbf{a} \)を求めよ.

以上が「ベクトルの外積」という話です!
外積の計算と向きは本当に間違える人が多いので上の図を用いて
しっかりとマスターしてしまいましょう.

それではまとめに入ります!

「ベクトルの外積」まとめ

「ベクトルの外積」まとめ

・ベクトルの外積は求めたい以外のたすき掛けで求めることができる.

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