【入門線形代数】行列の簡約化-連立一次方程式-

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「行列の簡約化」は連立一次方程式の解を求める方法である「掃き出し法」につながる単元になります.
うまく簡約化ができないと連立一次方程式の解を求めることができませんのでしっかりと抑えていこうと思います!

「行列の簡約化」の目標

・簡約行列を判断できるようになること!
・行列の簡約化ができるようになること!

簡約行列

簡約行列

まず,簡約行列とは何かを定義していきましょう.

簡約行列

以下の条件を満たす階段行列を簡約行列という.
(ⅰ)各行の主成分が1である.
(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である.

定義からもわかるように階段行列の中でもさらに条件が二つ加わった特殊なものですね.
もし階段行列が怪しいという人がいましたらこちらの記事で復習すると良いでしょう.

では,簡約行列の具体的なイメージをつかむために
簡約行列である例と簡約行列ではない行列の例を見ていくことにしましょう.

例:簡約行列である行列

例:簡約行列である行列

次の行列は簡約行列である.

<例の確認>
今回は簡約行列の例として\( A,B,C \)の3つの行列を例に挙げました.
1つずつ条件を満たしていることを確認していくことにしましょう.

・\( A \)について
まず,前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が1である.→これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である.
1つずつ主成分を含む列を確認していくことにしましょう.

第1行目の主成分は第2列目にあります.
第2列目は第1行目以外すべて0なので条件を満たします.

第2行目の主成分は第3列目にあります.
第3列目は第2行目以外すべて0なので条件を満たします.

第3行目の主成分は第4列目にあります.
第4列目は第3行目以外すべて0なので条件を満たします.

第4行目の主成分は第5列目にあります.
第5列目は第4行目以外すべて0なので条件を満たします.

第5行目の主成分は第6列目にあります.
第6列目は第5行目以外すべて0なので条件を満たします.

よって条件(ⅱ)を満たすことも確認できました.

・\( B \)について
まず,前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が1である.→これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である.

第1行目の主成分は第2列目にあります.
第2列目は第1行目以外すべて0なので条件を満たします.

第2行目の主成分は第3列目にあります.
第3列目は第2行目以外すべて0なので条件を満たします.

第3行目の主成分は第5列目にあります.
第5列目は第3行目以外すべて0なので条件を満たします.

よって条件(ⅱ)を満たすことも確認できました.

・\( C \)について
この行列を見たときに簡約行列なのだろうかと思う方もいるかもしれませんが,実はしっかりすべての条件を満たしています.確認してみましょう.

まず,前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が1である.→これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である.

第1行目の主成分は第2列目にあります.
第2列目は第1行目以外すべて0なので条件を満たします.

第2行目の主成分は第3列目にあります.
第3列目は第2行目以外すべて0なので条件を満たします.

第3行目の主成分は第5列目にあります.
第5列目は第3行目以外すべて0なので条件を満たします.

よって条件(ⅱ)を満たすことも確認できました.
(1,4)成分や第6列目に色々ありますが,主成分とは関係ないところなので,この列に数字が入っていても問題ありませんので注意してください.

では,逆に簡約行列ではない行列を見ていきましょう!

簡約行列でない行列

例:簡約行列でない行列

次の\( A,B \)は簡約行列ではない

一見簡約行列に見えるかもしれませんが,この二つは簡約行列ではありません,
どこが条件に反してしまうのか確認していくことにしましょう.

<例の確認>
・\( A \)について
まず,前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が1である.→これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である.

第3行目の主成分は第5列目にあります.
ですが第5列目は第3行目以外にも第一行目が0ではありません.
これは主成分以外が0であるという条件に反していますので,この行列は簡約行列ではありません.

・\( B \)について
まず,前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が1である.→これに関して第2行目が条件を満たしていません.

簡約行列に対して5つの例を見ましたが,冒頭にも言いましたがこの先掃き出し法という連立方程式を解く方法でこの簡約行列が必須となって来ます.
なので,上の例を通して簡約行列を見分けれるようにしてほしいです.

では,ここまでで簡約行列とは?という話しはここまでにして,
実際に簡約行列の作り方はどのようになっているのか見ていくことにしましょう.

行列の簡約化

行列の簡約化

行列の簡約化

行列 \( A \)に基本変形を繰り返すことにより,
簡約行列を得ることを行列 A の 簡約化という.

行列の簡約化とは行列の行基本変形を用いることにより簡約行列を作ることです.
簡約化について注意点があります.
行列の簡約化は唯一通りに定まります.これをかっこいい言葉で簡約化の一意性といったりします.
要するにどの手順で簡約化を行ったとしても最終的な結果は同じものになるということです.

この証明は省略しますが,性質として一般に成り立ちますので使っても問題ありません.
では,実際に例を用いて行列の簡約化を行っていきましょう

例題:行列の簡約化

例題:行列の簡約化

次の行列\( A \)を簡約化せよ.
\( A = \left(\begin{array}{cc}2 & 3
\\-1 & 2 \end{array} \right) \)

今回は\( \mathrm{rank}A = 2 \)の行列に簡約化されました.

では,実際に問を解いて見ることにしましょう.

問:行列の簡約化

問:行列の簡約化

次の行列\( A \)を簡約化せよ.
\( A = \left(\begin{array}{crl}1 & 1 & 4
\\-1 & 2& 2
\\3 & 1 & 2 \end{array} \right) \)

以上が「行列の簡約化」についてです.
何度も出てきていますが,この簡約化は掃き出し法を行うための準備です.
是非掃き出し法も一緒に学んでみると良いかと思います!!

それではまとめに入ります!!

「行列の簡約化」のまとめ

行列の簡約化」のまとめ

・簡約行列とは,
(ⅰ)各行の主成分が1である.
(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である.
を満たすような行列のこと.

・行列の簡約化とは,
基本変形を繰り返すことにより,簡約行列を得ること.

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