【入門線形代数】行列の行基本変形-連立一次方程式-

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行列の行基本変形を行うことで行列をシンプルな形に変形することができます.

また、この基本変形は連立方程式を解くことやその先の単元でもとても大切になりますので基本変形はしっかりマスターしましょう.

「行列の行基本変形」の目標

・行列の行基本変形が計算できるようになること!

行列の行基本変形

先に具体例を見ていきたいので
「拡大行列と拡大係数行列」で使った連立一次方程式\( (*) \)を使って基本変形をみていきます.

まず、今までのように連立一次方程式を加減法を使って解いていくことにします.
(のちに行列と見比べますので敢えて0を書いていきます.)

このような手順を踏んで連立一次方程式の解をを求めていたと思います.

この例から連立一次方程式の解を止めるときに実際におこなわれた変形をまとめると以下の3パターンの変形がおこなわれました.

(Ⅰ)2つの式を入れ替える.→(ⅰ)
(Ⅱ)ある式を何倍かする.→(ⅱ)
(Ⅲ)1つの式にほかの式の何倍かを加える.→(ⅲ)

この(Ⅰ)~(Ⅲ)を行列に関しても行ってみましょう.

このように行列においても連立一次方程式の時と同じように変形が可能です.

では、ここで行列に対しても実際におこなわれた変形がをまとめると以下の3パターンの変形がおこなわれました.

(Ⅰ)2つの行を入れ替える.
(Ⅱ)ある行を何倍かする
(Ⅲ)1つの行にほかの行の何倍かを加える.

今具体例でみた行列の変形のことを行基本変形といいます.
行基本変形についてまとめておきます.
(行基本変形を用いて連立一次方程式を解く方法を掃き出し法といいますが,
掃き出し法は別記事「掃き出し法」でまとめています)

行列の行基本変形

行列の行基本変形

行列の行基本変形とは以下の3つの操作を行列に対して行うことである.
(Ⅰ)2つの行を入れ替える.
(Ⅱ)ある行を何倍かする
(Ⅲ)1つの行にほかの行の何倍かを加える

この先このようにして行列を変形して行列を扱いやすい形にして考えることをよく行うことになりますのでこの3つの操作があることはしっかりと覚えておくとよいでしょう.

ここで一点注意です.
行基本変形を行う際は行列同士を→で結びましょう!
例えば,上の具体例の(ⅰ)の変形はこのようにかくことができます.


間違っても=で結んではいけません!!
色々な結び方の流儀がありますが
どの列同士で演算させたかわかりやすい上のような形式で以降書き進めていきたいと思います

それでは以上のことに注意しつつ例題を用いて行列の行基本変形に慣れてくことにしましょう!!

例題:行列の行基本変形

例題:行列の行基本変形

行列 \( \left(\begin{array}{cc}2 & -3
\\-1 & 2\end{array}\right) \)
を行基本変形を用いて,単位行列に変形しなさい.

行基本変形は過程が異なっていたとしても最終的な結果が同じになれば問題ありません.
それでは解説を始めていきましょう!!]

以上の変形により単位行列に変形できた■

では,最後に問を解くことにしましょう.

問:行列の行基本変形

問:行列の行基本変形

行列 \( \left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -1
\\1 & 2 & 2
\\3 & 2 & 1\end{array}\right) \)
を行基本変形を用いて,単位行列に変形しなさい.

以上の変形により単位行列に変形できた■

このようにして基本変形の操作を行います.
冒頭にも言いましたが.基本変形は今後行列を扱う上で基本となりいろいろなところで出てくるのでしっかりマスターしましょう!

それでは今回のまとめに入ります!!

「行列の行基本変形」のまとめ

「行列の行基本変形」まとめ

・行列の行基本変形とは行列に対して以下の3つの操作を行うことである.
(Ⅰ)2つの行を入れ替える.
(Ⅱ)ある行を何倍かする
(Ⅲ)1つの行にほかの行の何倍かを加える

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