【入門線形代数】行列の主成分-連立一次方程式-

今回は,行列の主成分について学んでいきます.
ここで学ぶ主成分は, 後に階段行列を定義する際にとても大切な内容なのでしっかりとマスターしておきましょう！

行列の主成分

行列には主成分というものがあり, 以下のように定義されます.

行列の主成分

「各行での最初に現れる０でない成分」は, 各行を一列目から順に見ていき, 初めて出てきた0でない成分のことを指します.
文章でピンと来ないかもしれませんので, 問題を解いて確認してみましょう.

問：行列の主成分

<例題の解答>
順番に1行ずつ確認していくことにしましょう.
・第1行目
第1行目は「4,15,0,9」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第3列の成分「4」ですね.
従って第1行目の主成分は4■

・第2行目
第2行目は「0,0,1,9」と並んでいます.
この行に関して一列目から順に見ていくと
第1列と第2列は0で,第3列目にはじめて0ではない成分「1」が出てきますね.
従って第2行目の主成分は1■

・第3行目
第3行目はも同様に考えていこうと思うと少し戸惑いますね.
なぜならこの行には0しかありません.
この場合は0ではない成分が存在しないということで主成分はありません.
従って第3行目の主成分は存在しない■

・第4行目
第4行目は「0,-3,8,5」と並んでいます.
この行に関して一1目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「-3」ですね.
従って第4行目の主成分は-3■

<問の解答>
・第1行目
第1行目は「0,7,12,0」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「7」ですね.
従って第1行目の主成分は7■

・第2行目
第2行目は「0,2,-1,12」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「2」ですね.
従って第2行目の主成分は2■

・第3行目
第3行目は「0,0,0,3」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第3列の成分「3」ですね.
従って第3行目の主成分は3■

・第4行目
全ての成分が0なので主成分は存在しない■

以上が行列の主成分の解説です.
主成分の判断を間違えてしまうと, 後々出てくる行列のrankが上手に求められなくなってしまいます.
しっかりと主成分を判断できるようにしましょう.
また, 行列の主成分を用いることで階段行列を求められます！
階段行列について学習したい方は「階段行列」の記事を読んでみてください！
それではまとめに入ります！

「行列の主成分」まとめ