【入門線形代数】行列の主成分-連立一次方程式-

スポンサーリンク

「行列の主成分」では,行列の主成分という成分について学んでいきます.
ここで学ぶ主成分は後に階段行列を定義する際にとても大切な内容ですので
しっかりとマスターしておきましょう!

「行列の主成分」目標

・行列の主成分を理解する

行列の主成分

行列には主成分というものがありますので,それを定義しておきましょう.

行列の主成分

行列の主成分

行列の各行での最初に現れる0でない成分を、行列の主成分という

この定義でいう,「各行での最初に現れる0でない成分」というのは各行を一列目からみていき,初めて出てきた0ではない成分のことを言います.
少し言葉ではピンと来ないかもしれませんので例題を用いて確認してみましょう.

例題:行列の主成分

例題:行列の主成分

(4,4)型行列
\( \left(\begin{array}{cccc}4 & 15 & 0 & 9\\0 & 0 & 1 &-9\\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & -3 & 8 & 5 \end{array}\right) \)
に対して各行での主成分を求めよ.

<例題の解答>
順番に1行ずつ確認していくことにしましょう.
・第1行目
第1行目は「4,15,0,9」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第3列の成分「4」ですね.
従って第1行目の主成分は4■

・第2行目
第2行目は「0,0,1,9」と並んでいます.
この行に関して一列目から順に見ていくと
第1列と第2列は0で,第3列目にはじめて0ではない成分「1」が出てきますね.
従って第2行目の主成分は1■

・第3行目
第3行目はも同様に考えていこうと思うと少し戸惑いますね.
なぜならこの行には0しかありません.
この場合は0ではない成分が存在しないということで主成分はありません.
従って第3行目の主成分は存在しない■

・第4行目
第4行目は「0,-3,8,5」と並んでいます.
この行に関して一1目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「-3」ですね.
従って第4行目の主成分は-3■

以上により各行の主成分がわかりました.

問もつけておきますので,実際に主成分を求めてください.

問:行列の主成分

問:行列の主成分

(4,4)型行列
\( \left(\begin{array}{ccccl}0 & 7 & 12 & 0
\\0 & 2 & -1 &12
\\0 & 0 & 0 & 3
\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)に対して各行での主成分を求めよ.

<問の解答>
・第1行目
第1行目は「0,7,12,0」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「7」ですね.
従って第1行目の主成分は7■

・第2行目
第2行目は「0,2,-1,12」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「2」ですね.
従って第2行目の主成分は2■

・第3行目
第3行目は「0,0,0,3」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第3列の成分「3」ですね.
従って第3行目の主成分は3■

・第4行目
全ての成分が0なので主成分は存在しない■

以上ここまでが行列の主成分という話しでした.
主成分の判断を間違えてしまうと後々うまく行列のrankが求められなくなってしまいますので,しっかりと主成分は判断できるようになっておくとよいでしょう.

また,この行列の主成分を用いて階段行列を求めます!
階段行列について学習したい方は「階段行列」の記事を読んでみてください!

それではまとめに入ります!

「行列の主成分」まとめ

「行列の主成分」まとめ

・行列の主成分とは,行列の各行での最初に現れる0でない成分

タイトルとURLをコピーしました