「表現行列➂」では,「表現行列②」で行った基底変換行列を用いて表現行列を計算する方法を線形変換という線形写像に置き換えてやっていくことにしましょう.
「表現行列②」の内容がしっかりできていれば今回の内容はすんなり入ってくると思いますので,ぜひ復習してから望むと良いでしょう
・線形変換の表現行列を求めることができるようになること.
線形変換と表現行列
表現行列とは何かという話は「表現行列①」でしましたので,
早速線形変換とはなにかということから始めていきましょう
線形変換
ベクトル空間\( V\) から\( V\) 自身への線形写像
すなわち,\( f:V\rightarrow V\) のことを線形変換という.
\(f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\)や\( f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) は線形変換の一例です.
ではこの線形変換の表現行列を「定理:線形変換と表現行列」として与えることにします.
定理:線形変換と表現行列
\( f\) を\( V\) の線形変換とする.
\( V\) の二組の基底として\( \left\{\pmb{v_1},\pmb{v_2},\cdots,\pmb{v_n}\right\},\left\{\pmb{u_1},\pmb{u_2},\cdots,\pmb{u_n}\right\}\) をとる.
この基底に対して,基底変換の行列を\( P\) とする.即ち,
\( (\pmb{u_1},\pmb{u_2},\cdots,\pmb{u_n})=(\pmb{v_1},\pmb{v_2},\cdots,\pmb{v_m})P\)
このとき,
\( \left\{\pmb{v_1},\pmb{v_2},\cdots,\pmb{v_m}\right\}\) に関する表現行列\( A\) ,
\( \left\{\pmb{u_1},\pmb{u_2},\cdots,\pmb{u_n}\right\}\) に関する表現行列\( B\)に対して,\( B = P^{-1}AP\)
「表現行列②」で出てきた「定理:表現行列」との違いは基底変換行列が1つになったことです.
今回の線形変換では同じベクトル空間を考えていますので基底の変換が一回行われればじゅうぶんです.
さて、表現行列(線形変換)を求めるstepをまとめて例題を通して理解していくことにしましょう.
表現行列(線形変換)を求めるstep
(step1)基底変換の行列\( P\) を求める.
(step2)線形写像に対応する行列\( A\) を求める.
(step3)\( P,P^{-1}\) と\( A\) を用いて,表現行列\( B = P^{-1}AP\) を計算する.
では,このstepを意識して例題を解いていきましょう.
例題：表現行列(線形変換)
線形変換\( f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) ,\( f( \begin{pmatrix} x_1
\\x_2
\\x_3\end{pmatrix} )= \left(\begin{array}{ccc}x_1 – x_2
\\2x_1 – x_2 + 2x_3
\\3x_1 + 2x_2 – x_3 \end{array}\right)\)
次の基底に関する表現行列\( B\)を求めよ.
\( \mathbb{R}^3\) の基底:\( \left\{ \begin{pmatrix} 1
\\2
\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2
\\3
\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1
\\1
\\2\end{pmatrix} \right\}\)
最後に例題を参考にして問を解いていきましょう
問：表現行列(線形変換)
線形変換\( f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\)
,\( f( \begin{pmatrix} x_1
\\x_2
\\x_3 \end{pmatrix} ) = \left( \begin{array}{ccc}x_1 – x_2 + x_3
\\2x_2 + x_3
\\x_1 – x_2 \end{array} \right)\)
次の基底に関する表現行列\( B\) を求めよ.
\( \mathbb{R}^3\) の基底:\( \left\{ \begin{pmatrix} 1
\\-1
\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2
\\-2
\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0
\\1
\\2 \end{pmatrix} \right\}\)
以上が「表現行列➂」です.
本質は「表現行列②」と変わりませんが,やはり工程数が多く難しいです.
しっかり復習してマスターしてしまいましょう！
それでは、まとめに入ります！
「表現行列➂」まとめ
・線形変換とはベクトル空間\( V\) から\( V\) 自身への線形写像
・表現行列(線形変換)を求めるstep
(step1)基底変換の行列\( P\) を求める.
(step2)線形写像に対応する行列\( A\) を求める.
(step3)\( P,P^{-1}\) と\( A\) を用いて,表現行列\( B = P^{-1}AP\) を計算する.
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