単元：「行列」
で出てきた定理の証明集です!!
定理:行列の和とスカラー倍の性質
定理:行列の和とスカラー倍の性質
\(A,B,C\)を(m,n)型行列、\(c,d\)を実数または複素数とするとき次の８つが成り立つ
Ⅰ)和についての演算
(1) \( A + B = B + A \)
(2) \((A + B) + C = A + (B + C) \)
(3) \(A + O = O + A = A \)
(4) \( A – A = O \)
Ⅱ）スカラー倍についての演算
(5)\( c(A + B) = cA + cB \)
(6) \( (c + d)A = cA + dA \)
(7) \( (cd)A = c(dA) \)
(8) \( 1A = A \)
<証明>
Ⅰ)和についての演算
この証明を見たときに、\( a_{11} + b_{11} = b_{11} + a_{11}\)なんて操作していいの？と疑問に思った人がいるかもしれません.
結論からいうとこの操作を行っても大丈夫です.
なぜなら\( a_{11} \)も\( b_{11}\) も行列の成分として数(実数、複素数または文字)をとっているので数同士の足し算は\( a_{11} + b_{11} = b_{11} + a_{11} \)のように演算を行うことができるからです.
続きの(5)~(8)の証明は「「行列」定理証明集②」で行っています.