【入門線形代数】逆行列の求め方(簡約化を用いた求め方)-行列式-

2021.03.292021.03.11

「逆行列の求め方(簡約化を用いた求め方)」では,簡約行列を用いて逆行列を求めていくということをしていこうと思います!!この記事では簡約行列を計算できることが大切ですので,もし怪しい方はこちらの記事で簡約行列を復習してから今回の内容を勉強するとより理解が深まることでしょう！

「逆行列の求め方(簡約化を用いた求め方)」目標

・逆行列とは何か理解すること
・簡約化を用いて逆行列を求めることができるようになること

この記事は一部（逆行列の定義の部分）が「逆行列の求め方(余因子行列)」と重複しています.

逆行列

例えば実数の世界で2の逆数は?
と聞かれたら\( \frac{1}{2} \)と答えるかと思います.
言い換えると、\( 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)が成り立ちます.

これを行列バージョンにしたのが逆行列です.

正方行列Aに対して
\( AX = XA = E \)を満たすXが存在するとき
Aは正則行列であるといい,
XをAの逆行列であるといい,\( A^{-1} \)とかく.

単位行列\( E \)は行列の世界でいうところの1に相当するものでしたので
定義の行列Xは行列Aの逆数のように捉えることができます.

ちなみに,\( A^{-1} \)は「Aインヴァース」と読みます.

また,ここでは深く触れませんが,正則行列に関しては学習を進めていくうえでいろいろなものの条件となったりする重要な行列ですのでしっかり押さえておきましょう.

さて,それでは簡約化を用いて逆行列を求める方法を定理として
まとめていくことにしましょう！

n次正方行列Aに対して
Aと同じ大きさの単位行列を並べた行列\( (A | E) \)に対して
簡約化を行い\( (E | X) \)と変形できたとき,
XはAの逆行列\( A^{-1} \)となる.

定理を要約すると行基本変形をおこない簡約化すると
\( (A | E) \rightarrow (E | A^{-1}) \)となるということです.
これに関しては実際に例題を通してま何行くことにしましょう！

次の行列の逆行列を行基本変形を用いて求めなさい.
\( A = \left(\begin{array}{cc}2 & 3
\\1 & 2\end{array}\right) \)

いかがでしょうか,最初は右側の行列が単位行列になっているところを
左側の行列を簡約化して単位行列とすれば右側の行列が
自然に逆行列になるという便利な計算法です！

実際にこの計算法を用いて3次正方行列の行列式を問として
つけておきますので是非といてみてください

次の行列の逆行列を行基本変形を用いて求めなさい.
\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3
\\2 & -3 & -2
\\2 & 2 & 3\end{array}\right) \)

以上が「逆行列の求め方(簡約化を用いた求め方)」の話です.
簡約化の操作で逆行列が求まる少し不思議なものですが,
余因子行列に比べ計算が楽なことが多いので特に指定がなければこちらを使うことも
多いと思いますのでしっかりと身に着けておくとよいでしょう！

それではまとめに入ります！

・逆行列とは\( AX = XA = E \)を満たすXのことでそのXを\( A ^{-1} \)とかく.
・行基本変形をおこない簡約化すると
\( (A | E) \rightarrow (E | A^{-1}) \)となる

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