「内積空間」ではベクトル空間の時に考えた内積の話を一般化して,さらに有名な不等式であるシュヴァルツ不等式と三角不等式の証明をしていこうと思います.
この2つの不等式はとても有名なものですのでいろいろなところで出てきます.是非証明もできるようになっておくと良いでしょう！
・内積空間を理解する
・シュヴァルツ不等式と三角不等式の証明ができるようになる.
内積については「ベクトルの内積」、「成分表示されたベクトルの内積」の記事も参考になりますので合わせて確認しておくと良いでしょう.
内積空間
では,早速内積空間を定義します.
内積と内積空間
実ベクトル空間\(V\)の二つのベクトル\(\mathbf{a},\mathbf{b}\)に対して,
実数\( (\mathbf{a},\mathbf{b}) \)が定まり,次の条件を満たすとき
\( (\mathbf{a},\mathbf{b})\)を\(\mathbf{a}\)と\(\mathbf{b}\)の内積という.
(1)\((\mathbf{a},\mathbf{b}) = (\mathbf{b},\mathbf{a})\)
(2)\((\mathbf{a}+ \mathbf{b}) = (\mathbf{a},\mathbf{c}) + (\mathbf{b},\mathbf{c})\)
(3)\((c\mathbf{a},\mathbf{b}) = c(\mathbf{a},\mathbf{b})\)
(4)\((\mathbf{a},\mathbf{a}) \geq 0\),\(\mathbf{a} = \mathbf{0}\)のときのみ等号成立
また,内積の定義されたベクトル空間を内積空間という.
内積には複素数の範囲まで考えたエルミート内積や複素内積空間という概念もありますが,
今回は実数の範囲にとどめておくことにします.
それでは,内積の例として標準的内積というものを見ていきましょう.
例:標準的内積
\( \mathbb{R}^n \)の2つのベクトル\( \mathbf{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\a_n \end{pmatrix},\mathbf{b} = \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\b_n \end{pmatrix} \)に対して
\( (\mathbf{a},\mathbf{b}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \)
を\( \mathbb{R}^n\)の標準的内積という.
「成分表示されたベクトルの内積」ではこの言葉は使いませんでしたが,
実は標準的内積という名前がついています.
もちろん標準的内積も上の条件(1)~(4)を満たします.
それでは次に内積に関わる重要な不等式を紹介します
定理:ベクトルの内積に関わる重要な不等式
内積空間\(V\)の任意のベクトル\((\mathbf{a},\mathbf{b})\)と\(c \in \mathbb{R}\)に対して以下が成り立つ
(1)\(\|c\mathbf{a}\| = |c| \|\mathbf{a}\|\)
(2)\(|(\mathbf{a},\mathbf{b})| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|\)：シュヴァルツ不等式
(3)\(\| \mathbf{a} + \mathbf{b} \| \leq \| \mathbf{a} \| + \|\mathbf{b} \|\)：三角不等式
この定理では実数の大きさを\(|c|\)
ベクトルの大きさを\(\|\mathbf{a}\|\)とあらわしています。
冒頭からお話していますが,特に(2),(3)は重要ですので,問として証明をつけておきましたので,一度考えてみると良いでしょう.
問:シュヴァルツ不等式と三角不等式
「定理:ベクトルの長さに関する重要な不等式」で与えられた不等式
(2)\(|(\mathbf{a},\mathbf{b})| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|\)
(3)\(\| \mathbf{a} + \mathbf{b} \| \leq \| \mathbf{a} \| + \|\mathbf{b} \|\)
を証明せよ.
証明方法は他にも存在します.興味があれば調べてみるとより理解が深まることでしょう.
以上が「内積空間」という話です.
内積やそれにかかわる不等式など少々抽象的な内容が多かったです.しっかり復習してみてください!
それでは、まとめに入ります！
「内積空間」まとめ
・内積空間とは内積の定義されたベクトル空間
・シュヴァルツ不等式とは,\(|(\mathbf{a},\mathbf{b})| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|\)
・三角不等式とは,\(\| \mathbf{a} + \mathbf{b} \| \leq \| \mathbf{a} \| + \|\mathbf{b} \|\)
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