【入門線形代数】ベクトルの和とスカラー倍-ベクトル空間-

(ベクトルの和)
二つのベクトル\( \mathbf{a} = \vec{AB},\mathbf{b} = \vec{BC}\)に対して
\( \mathbf{c} = \vec{AC}\)とおく,このとき
\( \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}\)を
\( \mathbf{a}, \mathbf{b}\)の和という.

(ベクトルのスカラー倍)
ベクトル\( \mathbf{a}\)と\( k \in \mathbb{R}\)に対して
スカラー倍\( k\mathbf{a}\)を以下のように定める.
(ⅰ)k>0のとき,向きは\( \mathbf{a}\)と同じ、大きさは\( \mathbf{a}\)のk倍.
(ⅱ)k<0のとき,向きは\( \mathbf{a}\)と反対、大きさは\( \mathbf{a}\)のk倍
(ⅲ)k=0のとき,零ベクトル\( 0\).

ベクトル\( \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\)と\( k,l \in \mathbb{R}\)に対して
以下のことが成り立つ.
(ベクトルの和について)
(ⅰ)\(  \mathbf{a} + \mathbf{b}\) = \(  \mathbf{b} +  \mathbf{a}\)
(ⅱ)\(  (\mathbf{a} + \mathbf{b}) +  \mathbf{c} =  \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})\)
(ⅲ)\(  \mathbf{a} + \mathbf{0} =  \mathbf{0} + \mathbf{a} =  \mathbf{a}\)
(ⅳ)\(  \mathbf{a} + (-\mathbf{a}) =  (-\mathbf{a}) + \mathbf{a} =  \mathbf{0}\)

(ベクトルのスカラー倍について)
(ⅴ)\( k( \mathbf{a} + \mathbf{b}) =  k\mathbf{a} + k\mathbf{b}\)
(ⅵ) \( (k + l)\mathbf{a} =  k\mathbf{a} +  l\mathbf{a}\)
(ⅶ) \( k(l\mathbf{a}) = (kl)\mathbf{a}\)