【入門線形代数】ベクトルの内積-ベクトル空間-

零ベクトルではない二つのベクトル\( \mathbf{a} = \vec{OA},\mathbf{b} = \vec{OB}\)に対して\( \angle{AOB} = \theta(0 \leq \theta \geq 180^\circ)\)とする.

このとき,\( \theta\)を\( \mathbf{a}\)と\( \mathbf{b}\)のなす角という.
特に,\( \theta = 90^\circ\)のとき,\( \mathbf{a}\)と\( \mathbf{b}\)は直交するといい,
\( \mathbf{a} \perp \mathbf{b}\)とかく.

二つの零でないベクトル\( \mathbf{a}, \mathbf{b}\)に対して
\( \mathbf{a}\)と\( \mathbf{b}\)のなす角を\( \theta\)とすると
\( \mathbf{a}\)と\( \mathbf{b}\)の内積は各ベクトルの大きさを用いて
\( (\mathbf{a},\mathbf{b}) = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \mathbf{cos}\theta\)となる.

3つのベクトル\( \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\)と\( k\in\mathbb{R}\)に対して
(1)\( (\mathbf{a},\mathbf{b}) = (\mathbf{b},\mathbf{a})\)
(2)\( ( (\mathbf{a} + \mathbf{b}),\mathbf{c} )= (\mathbf{a},\mathbf{c}) + (\mathbf{b},\mathbf{c})\)
(3)\( ( (k\mathbf{a}),\mathbf{b} ) = k(\mathbf{a},\mathbf{b}) = (\mathbf{a},(k\mathbf{b}))\)
(4)\( \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|^2\)
(5)\( \mathbf{a}\neq0,\mathbf{b}\neq0,\mathbf{a}\perp\mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0\)