連立一次方程式

【入門線形代数】係数行列と拡大係数行列-連立一次方程式-

Soraho — Thu, 25 Feb 2021 01:18:19 +0000

この章では中学生の頃から扱ってきた, 連立一次方程式を行列を使って解いていこうと思います.
「なぜわざわざ行列を使って解くのだろうか?」
「いままで使わなくても解けていたよ！」
と思う方もいるかもしれません.
行列を使って連立一次方程式を解くメリットはいろいろあります.
この章を通して連立一次方程式を今までと異なる視点で考えられるようになると思います.
手始めとして, 今回は係数行列と拡大係数行列を紹介します!!

「係数行列と拡大係数行列」目標

・係数行列と拡大係数行列について理解する！

係数行列と拡大係数行列

具体的な連立方程式を考えて, 係数行列と拡大係数行列を定義することにします.
そのためにまず, 連立方程式を行列を用いて表すことをしていきます.
今回は, 具体例として以下の連立方程式\( (*) \)をつかっていきます.

\( \begin{cases}2x + 5y = 1 & \cdots (1)\\x + 2y = 3 & \cdots (2)\end{cases} \cdots (*) \)

この連立一次方程式\( (*) \)の左辺を, 行列の積で表してみましょう.
「2x+5y」と「x+2y」は, (2, 2)型行列と(1, 2)型行列の積を利用して以下のように書けます.

\(\begin{pmatrix} 2x+5y \\ x+2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5\\1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \)

次に, 右辺を見ていきましょう. 右辺については「1」「3」が縦に並んでいるだけなので

\( \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \)

と書くことができます.
従って, 連立一次方程式\( (*) \)は以下のように表現することができます.

\( \begin{pmatrix} 2 & 5\\1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \)

左辺の2×2行列は, 連立方程式の係数を取り出した行列であることがわかると思います!!
この行列のことを係数行列といいます!!
さらに, 係数行列と右辺の2×1行列もあわせて

\( \left(\begin{array}{cc|c}2 & 5 & 1\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) \)

と書かれた行列のことを拡大係数行列といいます!!
係数行列と拡大係数行列について図をつけておきます.

では, このことを一般化して定義します！

係数行列と拡大係数行列

連立一次方程式
\( \left\{\begin{array}{}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}
\\ \vdots
\\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}\end{array}\right. \)
に対して,

\( A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
& & \vdots & \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} \), \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix} \), \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m
\end{pmatrix} \)

とおくとき\( A \)を係数行列といい,
\( (A | \mathbf{b}) = \left(\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1
\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2
\\ & & \vdots & & \vdots
\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right) \)を拡大係数行列という.

ここからは, 実際に係数行列と拡大係数行列を求める練習をしましょう.

問：係数行列と拡大係数行列

次の連立一次方程式について, 係数行列と拡大係数行列を求めよ.
(1)
\( \left\{\begin{array}{}2x + 6y = -1
\\4x + 8y = 9
\\5x – 6y = -11\end{array}\right. \)
(2)
\( \left\{ \begin{array}{}x + 2y + z + 5w= -1
\\x – 2y + 8z – 9w= 2\end{array}\right. \)

以上が係数行列と拡大係数行列についての解説です.
次の記事では, 行列の基本変形と呼ばれる操作を説明していきます.
それでは今回のまとめに入ります!!

「係数行列と拡大係数行列」のまとめ

「係数行列と拡大係数行列」のまとめ

・係数行列とは,連立方程式の係数を取り出した行列
・拡大係数行列とは,連立方程式の係数行列と右辺を合わせた行列

次回の記事「行列の行基本変形」

【入門線形代数】行列の行基本変形-連立一次方程式-

今回は, 行列の「行基本変形」と呼ばれる操作について解説します. 行基本変形を行うことで行列をシンプルな形に変形することができます. また, この操作は連立一次方程式を解くことや, その先の単元でもとても大切になるので, しっかりマスターしましょう！

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【入門線形代数】行列の行基本変形-連立一次方程式-

Soraho — Fri, 26 Feb 2021 01:27:44 +0000

今回は, 行列の「行基本変形」と呼ばれる操作について解説します.
行基本変形を行うことで行列をシンプルな形に変形することができます.
また, この操作は連立一次方程式を解くことや, その先の単元でもとても大切になるので, しっかりマスターしましょう！

「行列の行基本変形」の目標

・行列の行基本変形ができるようになる！

行列の行基本変形

先に具体例を見ます.
「拡大行列と拡大係数行列」で使った連立一次方程式\( (*) \)を使って基本変形をみていきます.

【入門線形代数】係数行列と拡大係数行列-連立一次方程式-

行列を使って連立一次方程式を解くメリットはいろいろあります. この章を通して連立一次方程式を今までと異なる視点で考えられるようになると思います. 手始めとして, 今回は係数行列と拡大係数行列を紹介します!!

まず, 連立一次方程式を加減法を使って解きます.
(後で行列と見比べるので, 敢えて0を書いていきます.)

このような手順を踏んで, 中学生の頃から連立一次方程式の解を求めましたね.
連立一次方程式を解く際, 以下の3パターンの操作が行われます.

(Ⅰ)2つの式を入れ替える.
(Ⅱ)ある式を何倍かする.
(Ⅲ)1つの式に, ほかの式の何倍かを加える.

この(Ⅰ)～(Ⅲ)を, 行列について行ってみます.

このように, 行列でも連立一次方程式の時と同じように変形が可能です.

行列に対して実際に行った変形をまとめると, 以下の3パターンの変形になります.

(Ⅰ)2つの行を入れ替える.
(Ⅱ)ある行を何倍かする.
(Ⅲ)1つの行に, ほかの行の何倍かを加える.

式の操作と, 行の操作が対応していることがわかりますね.
( I ), ( II ), (Ⅲ)の変形を行基本変形といいます.
(行基本変形を用いて連立一次方程式を解く方法を掃き出し法といいますが,
掃き出し法は別記事「掃き出し法」でまとめています)

行列の行基本変形

行列の行基本変形

行列の行基本変形とは以下の3つの操作を行列に対して行うことである.
(Ⅰ)2つの行を入れ替える.
(Ⅱ)ある行を何倍かする.
(Ⅲ)1つの行に, ほかの行の何倍かを加える.

この先, 行基本変形による行列の変形をたくさんするので, 3つの操作はしっかりと覚えましょう！
ここで, 一点注意です.
行基本変形を行う際は, 変形前と変形後の行列を「→」で結びましょう!
例えば, 上の具体例の(ⅰ)の変形は以下のように書かれます.

間違っても＝で結んではいけません!!
「→」以外にも色々な結び方がありますが, ここでは「→」を使って書き進めていきます.
それでは, 行基本変形の練習をしましょう！

問：行列の行基本変形

次の行列を行基本変形を用いて, 単位行列に変形せよ.
(1)
\( \left(\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
-1 & 2
\end{array}\right) \)
(2)
\( \left(\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & -1 \\
1 & 2 & 2 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right) \)

以上の変形により単位行列に変形できた■

このようにして基本変形の操作を行います.
冒頭にも言いましたが, 基本変形は今後行列を扱うための基本であり, 様々なところで出てくるのでしっかりマスターしましょう！
それでは今回のまとめに入ります.

「行列の行基本変形」のまとめ

・行列の行基本変形とは行列に対して以下の3つの操作を行うことである.
(Ⅰ)2つの行を入れ替える.
(Ⅱ)ある行を何倍かする
(Ⅲ)1つの行に, ほかの行の何倍かを加える

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【入門線形代数】行列の主成分-連立一次方程式-

Soraho — Mon, 15 Mar 2021 23:36:25 +0000

今回は,行列の主成分について学んでいきます.
ここで学ぶ主成分は, 後に階段行列を定義する際にとても大切な内容なのでしっかりとマスターしておきましょう！

「行列の主成分」目標

・行列の主成分を理解する

行列の主成分

行列には主成分というものがあり, 以下のように定義されます.

行列の主成分

行列の各行において, 最初に現れる０でない成分を、行列の主成分という

「各行での最初に現れる０でない成分」は, 各行を一列目から順に見ていき, 初めて出てきた0でない成分のことを指します.
文章でピンと来ないかもしれませんので, 問題を解いて確認してみましょう.

問：行列の主成分

次の行列の各行での主成分を求めよ.
(1)
\( \left(\begin{array}{cccc}
4 & 15 & 0 & 9 \\
0 & 0 & 1 &-9 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 8 & 5
\end{array}\right) \)
(2)
\( \left(\begin{array}{ccccl}
0 & 7 & 12 & 0 \\
0 & 2 & -1 &12 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \)

<例題の解答>
順番に1行ずつ確認していくことにしましょう.
・第1行目
第1行目は「4,15,0,9」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第3列の成分「4」ですね.
従って第1行目の主成分は4■

・第2行目
第2行目は「0,0,1,9」と並んでいます.
この行に関して一列目から順に見ていくと
第1列と第2列は0で,第3列目にはじめて0ではない成分「1」が出てきますね.
従って第2行目の主成分は1■

・第3行目
第3行目はも同様に考えていこうと思うと少し戸惑いますね.
なぜならこの行には0しかありません.
この場合は0ではない成分が存在しないということで主成分はありません.
従って第3行目の主成分は存在しない■

・第4行目
第4行目は「0,-3,8,5」と並んでいます.
この行に関して一1目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「-3」ですね.
従って第4行目の主成分は-3■

<問の解答>
・第1行目
第1行目は「0,7,12,0」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「7」ですね.
従って第1行目の主成分は7■

・第2行目
第2行目は「0,2,-1,12」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第2列の成分「2」ですね.
従って第2行目の主成分は2■

・第3行目
第3行目は「0,0,0,3」と並んでいます.
この行に関して1列目から順に見ていくと
この中の最初に現れる0ではない成分は第3列の成分「3」ですね.
従って第3行目の主成分は3■

・第4行目
全ての成分が0なので主成分は存在しない■

以上が行列の主成分の解説です.
主成分の判断を間違えてしまうと, 後々出てくる行列のrankが上手に求められなくなってしまいます.
しっかりと主成分を判断できるようにしましょう.
また, 行列の主成分を用いることで階段行列を求められます！
階段行列について学習したい方は「階段行列」の記事を読んでみてください！
それではまとめに入ります！

「行列の主成分」まとめ

・行列の主成分とは, 各行において最初に現れる０でない成分のこと.

【入門線形代数】階段行列-連立一次方程式-

Soraho — Sun, 28 Feb 2021 23:36:44 +0000

今回は, 階段行列という行列を紹介します.
階段行列はこの先行列のrankというものを計算したり, 他の概念を理解する上でとても大切な行列です. 階段行列をしっかり理解し, 判別もできるようになるように頑張りましょう！
この記事では「行列の主成分」がわからないとよく理解できないので, 行列の主成分を復習してから読むと良いでしょう.

【入門線形代数】行列の主成分-連立一次方程式-

今回は,行列の主成分について学んでいきます. ここで学ぶ主成分は, 後に階段行列を定義する際にとても大切な内容ですのでしっかりとマスターしておきましょう！

「階段行列」の目標

・階段行列を理解し, 判別できるようになる.

階段行列

早速, 階段行列を定義していきます.

階段行列

行番号が増えていくにつれて主成分の前(左側)に連続して並ぶ0の数が増えていき, 主成分のない行より下の行はすべて成分が0であるような行列のことを階段行列という.

文章だけではイメージしにくいと思うので, 具体例で確認していくことにします.

例：階段行列

以下の3つの行列は全て階段行列である.
\( \left(\begin{array}{ccccccc} 0 & a_1 & * & * & * & *
\\ 0 & 0 & a_2 & * & * & *
\\ 0 & 0 & 0 & a_3 & * & *
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_4 & *
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_5\end{array} \right) \),
\( \left(\begin{array}{cccccc}0 & a_1 & * & * & * & *
\\0 & 0 & a_2 & * & * & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_3
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) \),
\( \left(\begin{array}{cccccc}0 & a_1 & * & * & * & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & a_2 & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) \)
ただし, \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \)は全て0でなく, \( * \)の部分は好き勝手決めていい数が入るとする.

この例について, 図を用いることで視覚的に階段行列になっているか確認しましょう.

この行列は, 一行下がるごとに1つずつ主成分の前に0が増えています.
一番典型的な階段行列の形であるといえるでしょう.
他にも例を見てみます.

この行列は前の例のように, 等間隔で0が並んではいませんが, 行番号が増えるごとに０の数は増えています.
また, 主成分のない第４行目と5行目は0が並んでいるので, 階段行列になります.

最後の例について図は省略しますが, 上と同様に主成分の前の０の数がどんどん増えおり, 主成分のない3行目以降は0が並んでいるので, 問題なく階段行列です.
階段行列でない行列の例も見てみましょう.

例：階段行列でない行列

次の行列は階段行列ではない.
\( \left(\begin{array}{cccccc}0 & a_1 & * & * & * & *
\\0 & 0 & a_2 & * & * & *
\\0 & a_3 & * & * & * & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & a_4 & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_5\end{array} \right) \),
\( \left(\begin{array}{cccccc}0 & a_1 & * & * & * & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & a_2 & *
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\0 & a_5 & * & * & * & * \end{array} \right) \)
ただし, \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \)は全て0でなく, \( * \)の部分は好き勝手決めていい数が入るとする.

こちらの例もひとつずつ, どこがダメなのか考えてみることにしましょう.

<例の確認>

この行列では
第2行の主成分前には0が2つ
であるのに対して
第3行の主成分前には0が1つ
となってしまっているため,「階段行列の定義である行番号が増えていくにつれて, 主成分の前(左側)に連続して並ぶ0の数が増えていく」ということに反します.
よって, この行列は階段行列ではありません.

こちらの例も, いきなり第5行目で主成分前の0の数が1つに減ってしまっており, 「主成分のない行より下の行はすべて成分が0である」という階段行列の定義を満たさないので, 階段行列ではありません.

以上が階段行列についての解説です. この階段行列を用いて次回に解説する「階数(rank)」というものが定義されます.
それでは, 今回のまとめに入りましょう.

「階段行列」のまとめ

・階段行列とは, 行番号が増えていくにつれて主成分の前(左側)に連続して並ぶ0の数が増えていき, 主成分のない行より下の行はすべて成分が0であるような行列

【入門線形代数】行列の簡約化-連立一次方程式-

Soraho — Wed, 03 Mar 2021 00:51:14 +0000

「行列の簡約化」は連立一次方程式の解を求める方法である「掃き出し法」につながる内容です.
連立一次方程式を上手に解くためにも, 簡約化の内容をしっかりと抑えましょう！

「行列の簡約化」の目標

・簡約行列を判断できるようになる.
・行列の簡約化ができるようになる.

簡約行列

まず, 簡約行列は以下のような行列です.

簡約行列

以下の条件を満たす階段行列を簡約行列という.
(ⅰ)主成分が全て１である.
(ⅱ)主成分を含む列では, 他の成分は全て 0 である.

階段行列の内容が怪しいと感じたら以下の記事で復習しましょう.

【入門線形代数】階段行列-連立一次方程式-

今回は, 階段行列という行列を紹介します. 階段行列はこの先行列のrankというものを計算したり, 他の概念を理解する上でとても大切な行列です. 階段行列をしっかり理解し, 判別もできるようになるように頑張りましょう！

簡約行列のイメージを掴むために, 具体例を見ましょう！

例：簡約行列である行列

次の行列は全て簡約行列である.

<例の確認>
今回は, 簡約行列の例として\( A,B,C \)の3つの行列を例に挙げました.
1つずつ条件を満たしていることを確認していくことにしましょう.

・\( A \)について
まず, 前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が１である. →これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て0である.
1つずつ主成分を含む列を確認していくことにしましょう.

第1行目の主成分は第2列目にあります.
第2列目は第1行目以外すべて0なので条件を満たします.

第2行目の主成分は第3列目にあります.
第3列目は第2行目以外すべて0なので条件を満たします.

第3行目の主成分は第4列目にあります.
第4列目は第3行目以外すべて0なので条件を満たします.

第4行目の主成分は第5列目にあります.
第5列目は第4行目以外すべて0なので条件を満たします.

第5行目の主成分は第6列目にあります.
第6列目は第5行目以外すべて0なので条件を満たします.

よって, 条件(ⅱ)を満たすことも確認できました.

・\( B \)について
まず, 前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が１である. →これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て0である.

第1行目の主成分は第2列目にあります.
第2列目は第1行目以外すべて0なので条件を満たします.

第2行目の主成分は第3列目にあります.
第3列目は第2行目以外すべて0なので条件を満たします.

第3行目の主成分は第5列目にあります.
第5列目は第3行目以外すべて0なので条件を満たします.

よって, 条件(ⅱ)を満たすことも確認できました.

・\( C \)について
この行列を見たときに簡約行列なのだろうかと思う方もいるかもしれませんが, 実はしっかりすべての条件を満たしています. 確認してみましょう.

まず, 前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が１である. →これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て0である.

第1行目の主成分は第2列目にあります.
第2列目は第1行目以外すべて0なので条件を満たします.

第2行目の主成分は第3列目にあります.
第3列目は第2行目以外すべて0なので条件を満たします.

第3行目の主成分は第5列目にあります.
第5列目は第3行目以外すべて0なので条件を満たします.

よって, 条件(ⅱ)を満たすことも確認できました.
(1,4)成分や第6列目に色々ありますが, 主成分とは関係ないところなのでこの列に数字が入っていても問題ありません.

では, 逆に簡約行列ではない行列を見ていきましょう!

例：簡約行列でない行列

例：簡約行列でない行列

次の\( A,B \)は簡約行列ではない.

一見簡約行列に見えるかもしれませんが, この二つは簡約行列ではありません,
どこが条件に反してしまうのか確認していくことにしましょう.

<例の確認>
・\( A \)について
まず, 前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が１である. →これに関してもしっかり満たしています
条件(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て0である.

第3行目の主成分は第5列目にあります.
しかし, 第5列目は第3行目以外にも第一行目が0ではありません.
これは主成分以外が0であるという条件に反しているので, この行列は簡約行列ではありません.

・\( B \)について
まず, 前提として階段行列になっています.
条件(ⅰ)各行の主成分が１である. →これに関して第2行目が条件を満たしていません.

簡約行列が何かという話しはここまでにします.
次に, 行列を簡約化する方法について解説します.

行列の簡約化

行列\( A \)は行基本変形を繰り返すことで, 簡約行列が得られる.
この操作を, \( A \)の簡約化という.

簡約化について注意点があります.
簡約化された行列は, ただ一通りに定まります. これを簡約化の一意性といったりします.
要するに, どの手順で簡約化を行ったとしても, 最終的な結果は同じものになるということです.
では,実際に例を用いて行列の簡約化を行っていきましょう

問：行列の簡約化

次の行列\( A \), \( B \)を簡約化せよ.
\( A = \left(\begin{array}{cc}2 & 3
\\-1 & 2 \end{array} \right) \),
\( A = \left(\begin{array}{crl}1 & 1 & 4
\\-1 & 2& 2
\\3 & 1 & 2 \end{array} \right) \)

以上が「行列の簡約化」についてです.
長い道のりでしたが, ようやく連立一次方程式を解く準備が整いました.
次回は大本命である, 「連立一次方程式を解く」方法を解説します‼︎
これまでの内容をしっかり復習しておきましょう！
それではまとめに入ります.

「行列の簡約化」のまとめ

「行列の簡約化」のまとめ

・簡約行列とは,
(ⅰ)各行の主成分が１であり,
(ⅱ)各行の主成分を含む列では, 他の列成分は全て 0 である
ような行列のこと.
・行列の簡約化とは,
基本変形を繰り返して, 簡約行列を得ること.

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【入門線形代数】解の分類と自由度-連立一次方程式-

Soraho — Thu, 04 Mar 2021 00:52:38 +0000

今回は, まず連立一次方程式の解について説明し, それから解の自由度について解説します!!
rankの計算ができることを前提に話が進むので, 復習したい方は以下の記事を読んでみましょう.

【入門線形代数】行列の階数(rank)-連立一次方程式-

行列の階数(rank)は他の単元でも必須の重要な内容です!! このrankがわかることで, 連立方程式が解けるかどうか判断できたりします. 他にも, rankによって逆行列を持つかどうか調べられたりもします. ここでしっかりと抑えてしまいましょう！！

「解の分類と自由度」の目標

・連立一次方程式が解が持つかどうか判定できるようになる.
・解の自由度を求められるようになる.

連立一次方程式の解の分類

連立方程式の解

分類の前に連立一次方程式の解の自由度について考えます.
まず, 連立一次方程式の解を定義します.

連立一次方程式の解

連立一次方程式
\( \left\{\begin{array}{}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots a_{2n}x_{n} = b_{2}
\\ \vdots
\\a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots a_{mn}x_{n} = b_{m}\end{array}\right. \)
を満たす \( \begin{pmatrix}x_1
\\x_2
\\ \vdots
\\x_n \end{pmatrix} \) が存在するとき, 連立一次方程式は解をもつといい,
そうでないとき連立一次方程式は解をもたないという.

上記は, 中学・高校で学習した一次方程式の一般的な形となっています.
行列を用いてこの方程式を表すと,
\( A = (a_{ij})_{1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}\)を係数行列, \( \mathbf{x} = \!{}^t (x_1 \cdots x_n) \), \( \mathbf{b} = \!{}^t (b_1 \cdots b_m) \)
とおくことで, \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) と表されます.
連立一次方程式の解の存在性について, 次のような定理があります.

連立一次方程式の解の分類

定理:連立一次方程式の解の分類

ある連立一次方程式\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)に対して, \( (A | \mathbf{b} ) \)を拡大係数行列とするとき
\( \mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b}) \) \(\Leftrightarrow \)連立一次方程式の解は存在する.
\( \mathrm{rank}A < \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b})\) \( \Leftrightarrow \)連立一次方程式の解は存在しない.

前回学習したrankを上のように応用することで, 連立方程式が解を持つか判定できます！
この定理は便利なので, 使いこなせるようにしましょう！
また, 連立一次方程式には「解の自由度」という概念があります.

核第係数行列については以下の記事を参考にしてください！

【入門線形代数】係数行列と拡大係数行列-連立一次方程式-

解の自由度

連立一次方程式の解の自由度

n個の未知数\( \mathbf{x} = \!{}^t(x_1\ \cdots \ x_n) \)からなる解を持つ連立一次方程式\(A \mathbf{x} = \mathbf{b} \)に対して,
方程式の解を全て表すために必要な任意定数の個数を解の自由度という.

「任意定数」というのは, 簡単に言えば「好き勝手決めていい定数」のことです！
高校の頃に学習した「積分定数」も任意定数の一つです.
また, 先ほどのrankに関する定理から,
解の自由度 = n – rank\( A \)
が成り立ちます.
解の自由度は, 方程式を実際に解いてみると理解が深まります.
自由度のある連立方程式を解くのはもう少し後で解説するので「こんなものがあるんだ」程度に思っておいてください.
以上の内容について, 具体的に問題を解いてみましょう!

問：連立一次方程式の解の分類

次の2つの方程式がそれぞれ解を持つか判定し, 解を持つ場合はその解を求めよ.
(1) \( \left\{ \begin{array}{}
x_1 + x_2 + 2x_3 = 1 \\
x_1 – 2x_2 + 3x_3 = 2 \\
2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = -1\\
\end{array} \right. \)
(2)\( \left\{\begin{array}{}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\
x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \\
\end{array}\right. \)

[解答]
(1) 拡大係数行列 \( (A | \mathbf{b} )\)は
\( (A | \mathbf{b} ) = \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -2 & 3 & 2 \\
2 & 2 & 4 & -1
\end{array} \right) \)
となります. このとき, \( (A | \mathbf{b} ) \) を階段化すると
\( (A|\mathbf{b}) \to \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array} \right)
\)
となるので, \( \mathrm{rank} A = 2 < 3 = \mathrm{rank} (A | \mathbf{b}) \)
がわかります. よって, 連立方程式は解を持ちません.

(2) 拡大係数行列 \( (A | \mathbf{b} )\)は
\( (A | \mathbf{b} ) = \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 &1
\end{array} \right) \)
となります. このとき, \( (A | \mathbf{b} ) \) を階段化すると
\( (A|\mathbf{b}) \to \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{array} \right) \)
となるので, \( \mathrm{rank} A = \mathrm{rank} (A | \mathbf{b}) = 3 \) がわかります.
よって, 連立方程式は解を持ちます.
さらに, 階段化に引き続き拡大係数行列を簡約化していくと
\( \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{array} \right) \to
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array} \right) \)
となるので, 連立方程式の解は
\( \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \)
となります.

以上が「解の分類と自由度」という話です.
rankの使い方の一つがわかったのではないでしょうか？
次回は「行列の簡約化」を解説します.
あと少しで方程式を解く準備が整うので, これまでの内容をきちんと理解しておきましょう！
それでは, 今回のまとめに入りましょう‼︎

「解の分類と自由度」のまとめ

・連立一次方程式\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)の解は,
\( \mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b} ) \)のとき存在する.
\( \mathrm{rank}A < \mathrm{rank}(A \mid \mathbf{b} ) \)のとき存在しない.
・解の自由度とは,
n個の未知数からなる解を持つ連立一次方程式\( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)における, \( n-\mathrm{rank}A\)のこと

次回は「行列の簡約化」

【入門線形代数】行列の簡約化-連立一次方程式-

「行列の簡約化」は連立一次方程式の解を求める方法である「掃き出し法」につながる内容です. 連立一次方程式を上手に解くためにも, 簡約化の内容をしっかりと抑えましょう！

入門線形代数記事一覧は「入門線形代数」

【入門線形代数】記事一覧

大学初年度で学ぶ線形代数学の記事を一覧にしたページです!!日々の学習や大学院入試,大学数学の学び直しなど様々な用途でお使いください!!

【入門線形代数】行列の階数(rank)-連立一次方程式-

Soraho — Wed, 03 Mar 2021 00:29:59 +0000

行列の階数(rank)は他の単元でも必須の重要な内容です!!
このrankがわかることで, 連立方程式が解けるかどうか判断できたりします.
他にも, rankによって逆行列を持つかどうか調べられたりもします.
ここでしっかりと抑えてしまいましょう！！

「行列の階数(rank)」の目標

・行列のrankを求められるようになる.

今回は, 階段行列を知っていることを前提に進みます.
階段行列の理解が怪しい方は, 以下のページで復習しましょう！

【入門線形代数】階段行列-連立一次方程式-

行列の階数(rank)

行列 \( A \)を行基本変形によって階段行列に変形したとき, ０でない成分が残っている行の個数を行列 \( A \)の階数またはrankといい, \( \mathrm{rank}A \)で表す.

rankについて, 具体例を挙げて説明します.

例：行列の階数(rank)

二つの行列を

\( A = \left( \begin{array}{crl}1 & 10 & 100
\\0 & 100 & 1
\\0 & 0 & 10\end{array}\right) \)
\( B = \left( \begin{array}{cccc}8 & -5 & 1 & 4
\\0 & 0 & 1 & 9
\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

とすると\( \mathrm{rank}A = 3,\mathrm{rank}B = 2 \)となる.

なぜそれぞれの行列のrankがこのようになるのか少し考えてみましょう
まず, 行列が階段行列であることはわかるかと思います.
次に, 「０でない成分が残っている行の数」を考えます.
\( A \)では3つのすべての行が0でない成分を持っています.
従って\( \mathrm{rank}A = 3 \)と判断できます!

\( B \)では, 3つの行のうち, いちばん下の3行目の成分が0になっているので
「０でない成分が残っている行の数」は2つとなりますね
従って, \( \mathrm{rank}B = 2 \)と判断できます!

ここまでのことを踏まえると
行列のrankは, 階段行列の段の数に一致すると言い換えることもできます!!

ここで, 行列の基本変形によってrankが変わってしまうことはないの？
と疑問に思われた方もいるかもしれません。
結論から言うと, 行列の変形の方法は一通りではありませんが
どのように行基本変形を行ってもrankは一致します.
これについては一般に知られているので、今後特に断る必要はありません.

では, 次の問題を解いてrankについて理解を深めましょう！

問：行列の階数(rank)

次の行列\( A , B \)の\(\mathrm{rank} \)を求めよ.
\( A = \left(\begin{array}{crl}1 & 3 & 3
\\3 & 1 & 3
\\3 & 3 & 1\end{array}\right) \)
\( B = \left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 4 & 2
\\3 & -6 & 12 & 6
\\-2 & 4 & -8 & -4\end{array}\right) \)

この問を見た瞬間に「０でない成分が残っている行の数」はA, Bともに3だから
\( \mathrm{rank}A = 3 , \mathrm{rank}B = 3 \)と答えてしまった方は要注意です！
なぜなら, この二つの行列は階段行列ではありません.
まず階段行列に変形することから始めましょう！

以上の内容が行列の階数(rank)です.
冒頭にも話しましたが, rankは連立方程式の解が存在するかどうか, 逆行列を持つかどうか, といったことを判定するのにとても便利な道具になります.
次回は, rankの応用例として, 連立方程式が解を持つかどうか判定する方法を解説します！
それでは今回のまとめに入りましょう!!

「行列の階数(rank)」のまとめ

・行列のrankは, 行基本変形によって階段行列に変形したとき, ０でない成分が残っている行の個数.

次回の記事「連立一次方程式の解の自由度と分類」

【入門線形代数】解の分類と自由度-連立一次方程式-

今回は, まず連立一次方程式の解について説明し, それから解の自由度について解説します!! rankの計算ができることを前提に話が進むので, 復習したい方は以下の記事を読んでみましょう.

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【入門線形代数】記事一覧

大学初年度で学ぶ線形代数学の記事を一覧にしたページです!!日々の学習や大学院入試,大学数学の学び直しなど様々な用途でお使いください!!

【入門線形代数】掃き出し法-連立一次方程式-

Soraho — Sat, 06 Mar 2021 01:09:17 +0000

「掃き出し法」では, 実際に行列の簡約化を用いて連立一次方程式を解いていきます!!
連立一次方程式を解くことは, 以降の様々な場面で登場します.
非常に大切な内容なので, しっかりとマスターしていきましょう！

「掃き出し法」の目標

掃き出し法を用いて, 連立一次方程式を解けるようになる！

この記事は, 簡約行列を知っていることが前提です. 簡易行列の理解に自信がない方は, 以下の記事を読んで復習しましょう！

【入門線形代数】掃き出し法-連立一次方程式-

「掃き出し法」では, 実際に行列の簡約化を用いて連立一次方程式を解いていきます!! 連立一次方程式を解くことは, 以降の様々な場面で登場します. 非常に大切な内容なので, しっかりとマスターしていきましょう！

掃き出し法

掃き出し法は次のような操作です.

掃き出し法

行列の行基本変形を行い, 簡約行列を作り連立方程式を解く方法のことを掃き出し法という.

この操作を見て, なぜ簡約行列を作ることで連立一次方程式が解けるの？
と疑問を持った方もいるかもしれません. その部分を少し考察していくことにしましょう！

連立一次方程式

\( \left\{\begin{array}{}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1}
\\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{13}x_{3} +\cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2}
\\a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} + \cdots + a_{3n}x_{n} = b_{3}
\\ \cdots
\\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}\end{array}\right. \)

の解について考えます.

この方程式の拡大係数行列について, 簡約化を用いることで
最終的に係数行列の部分が簡約行列の形になったとします. つまり,

\( \left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & c_{1}
\\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{2}
\\0 & 0 & 1 & \cdots &0&c_{3}
\\ \cdots
\\0 & 0& 0& \cdots & 1 & c_{m}\end{array}\right) \)

というような形まで変形できたとすると, 連立方程式の解は

\( \begin{pmatrix}x_1
\\ x_2
\\ x_3
\\ \cdots
\\ x_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1
\\c_2
\\c_3
\\ \cdots
\\ c_m\end{pmatrix} \)

となります. いかがでしょうか？この解がスッと理解できましたでしょうか？

まだよくわからないという方の為に, もう少し掘り下げてみることにしましょう！
先ほどの拡大係数行列の簡約化から

\(\left( \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\\0 & 1 & 0 & \cdots & 0
\\0 & 0 & 1 & \cdots &0
\\ \cdots
\\0 & 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right) \begin{pmatrix}x_1
\\x_2
\\ x_3
\\ \cdots
\\x_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1
\\c_2
\\ c_3
\\ \cdots
\\c_m \end{pmatrix} \)

となります. これを, 連立一次方程式で表すと

\( \left\{\begin{array}{}x_{1}+0+0+\cdots+0=c_{1}\\0+x_{2}+0+\cdots+0=c_{2}\\0+0+x_{3}+\cdots+0=c_{3}
\\ \cdots
\\0+0+0+\cdots+x_{n}=c_{m}\end{array}\right. \)

というように書けます. これは, 紛れもなく連立方程式の解

\( \left\{\begin{array}{}x_{1}=c_{1}\\x_{2}=c_{2}\\x_{3}=c_{3}
\\ \cdots
\\x_{n}=c_{m}\end{array}\right. \)

を表していますね！
ここまでのことが, 掃き出し法により連立方程式の解が求まる理由です.
それでは, 実際に問題を解いてみましょう！

問：掃き出し法

次の連立方程式が解を持つかどうか調べ, 解を持つ場合は実際にその方程式の解を求めよ.
(1)\( \left\{\begin{array}{}2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4
\\4x_{1} + x_{2} – 3x_{3} = -2
\\-x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 2\end{array}\right. \)
(2)\( \left\{\begin{array}{}3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2
\\x_{1}+x_{2}-3x_{3}=-2
\\6x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=4\end{array}\right. \)
(3)\( \left\{\begin{array}{}2x_{1} + 4x_{2} – x_{3} = 3
\\6x_{1} -3 x_{2} – 5x_{3} = 9
\\-4x_{1} – 8x_{2} + 2x_{3} = 4\end{array}\right. \)

今回の問では, 解なしのパターンも任意定数を指定するパターンも解きました. どのパターンでも対応できるように練習することが重要です！

また, 答えの最後の答えの書き方が(1), (2)で異なりますが, 数学的にはどちらでも構いません.
大学の講義等では(2)の書き方が一般的なように思われます.
とはいっても, 大学の先生の中にはこだわりを持つ人もいるので, 皆さんが通う大学のルールに合わせておくのがベストでしょう.

以上が「掃き出し法」についての話です！
掃き出し法は今後色々な場面で使うので, 必ず計算できるようになりましょう！

それではまとめに入ります！

「掃き出し法」のまとめ

・掃き出し法とは, 簡約行列を作り連立方程式を解く方法のこと.

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