【入門線形代数】和空間と共通部分の次元-ベクトル空間-

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「和空間と共通部分の次元」では部分空間の和空間と共通部分のそれぞれの次元を求めていこうと思います.
今回の内容は部分空間の次元や一次独立性など今までの内容を試すいい内容ですので少し難しいですがしっかりものにしてしましましょう!

「和空間と共通部分の次元」目標

・和空間と共通部分の次元を求めることが出来るようになること

和空間と共通部分の次元

部分空間の和空間と共通部分の間には以下のような関係が成り立ちます

定理:和空間と共通部分の次元

定理:和空間と共通部分の次元

有限次元のベクトル空間\( V \)の部分空間\( W_1,W_2 \)に対して,
\( \dim{W_1} + \dim{W_2} = \dim{(W_1 + W_2)} + \dim{(W_1 \cap W_2)} \)
が成り立つ.

ここからの問題を解くうえで「基底と次元」や「一次独立性」の話は必須の知識なので
もし怪しい方は記事を参考にしながら問題に取り組むと良いでしょう.
では、この定理を用いて例題を解いていくことにしましょう.

例題:和空間と共通部分の次元

例題:和空間と共通部分の次元

\( \mathbb{R}^3 \)の部分空間\( W_1,W_2 \)を以下とする.
\( W_1 = \left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\x_2
\\x_3 \end{pmatrix} \mid 2x_1 + 2x_2 – x_3 = 0 \right\} \)
\( W_2 = \left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\x_2
\\x_3  \end{pmatrix} \mid x_1 + 2x_2 +2x_3 = 0, x_1 – 3x_3 = 0 \right\} \)
このとき,\( \dim{ (W_1 \cap W_2) } \)と\( \dim{ (W_1 + W_2) } \)を求めよ.

やることが多いので少し難しく見えてしまいます.
ですが,一個一個の次元を求める部分に注目するとほかの記事でやったことばかりですので
実は意外と大したことないのです!

では,この例題を参考に問を解いてみましょう.

問:和空間と共通部分の次元

問:和空間と共通部分の次元

\( \mathbb{R}^4 \)の部分空間\( W_1,W_2 \)を以下とする.

\( W_1 = \left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\x_2
\\x_3
\\x_4 \end{pmatrix} \mid x_1 + 2x_2 + x_3 + 2x_4 = 0 \right\} \)
\( W_2 = \left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\x_2
\\x_3
\\x_4 \end{pmatrix} \mid x_1 = 2x_2 , x_3 = 2x_4 \right\} \)

このとき,\( \dim{ ( W_1 \cap W_2 ) } \)と\( \dim{ ( W_1 + W_2 ) } \)を求めよ.

以上が「和空間と共通部分の次元」という話です.
大学院試験や大学の定期試験によく出る問題ですのでしっかりマスターできるよう何度も復習するとよいでしょう!

それではまとめに入ります!

「和空間と共通部分の次元」まとめ

「和空間と共通部分の次元」まとめ

・和空間と共通部分の次元は定理
\( \dim{W_1} + \dim{W_2} = \dim{(W_1 + W_2)} + \dim{(W_1 \cap W_2)} \)
を用いて求める

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