【入門線形代数】行列とは?-行列-

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線形代数という学問は基本的に行列を足したり引いたり変形したりして行っていくことになります.
ただ行列って何でしょうか?
もちろんお店に並ぶ行列の事ではありません笑

ここでは,数学的に行列を定義して理解することを目標にして説明をしていきます!!

「行列とは?」の目標

・行列とは何か理解する.

行列とは

すごくざっくり言うなら数学的に行列とは数を並べたものです.
もちろんこれだけの説明ではよくわからないと思いますので実際に行列の定義を確認することにします.

行列とは

行列とは

\( a_{ij}(i = 1,2,\cdots m, j= 1,2,\cdots n) \)を実数、複素数または文字とする.
\( a_{ij} \)次のように長方形に並べたものを(m,n)行列、m×n型行列などという.

$$\begin{pmatrix} a_{11} \quad a_{12} \quad \cdots \quad a_{1n} \\ a_{21} \quad a_{22} \quad \cdots \quad a_{1n} \\ \quad \cdot \cdots \quad \\ a_{m1} \quad a_{m2} \quad \cdots \quad a_{mn}\end{pmatrix}$$

行列の横の並びをといい上から順に第1行、第2行、….第m行という。
行列の縦の並びをといい上から順に第1列、第2列、….第n列という。
第ⅰ行と第j列の交点にある数\(a_{ij} \)のことを(ⅰ,j)成分という。

上の定義からもわかるように大きな括弧のなかに文字を入れて並べたものが数学です
線形代数ではこの行列を足したり引いたりその他の変形ができるようになることが目標です.

定義のことを視覚的に理解するため図を加えます.

行列の行と列と成分

この行列Aのことを行列の成分を用いて\( A = (a_{ij}) \)とかくことがあります
このように書かれたら,行列 \( A \)の成分全体を表しているんだなと思ってください.

実際に行列の例題を見てみることにしましょう

例題:行列の成分

例題:行列の成分

次の行列 \( A \)に対して

$$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & a & 3\\12 & 2 & 2\\-133 & -1 & -3\end{array}\right)$$
\(A \) の大きさを答えよ
また、\( A \)の(1,2)成分と(2,3)成分を答えよ.

<例題の解答>
行列 \( A \)の大きさ:3×3型行列
(1,2)成分:a
(2,3)成分:2■

では実際にこの例題を参考にして問を解いてみることにしましょう!!

問:行列の成分

問:行列の成分

次の行列\(A,B\)の大きさとそれぞれの(2,1)成分と(1,3)成分を答えよ
$$A = \left(\begin{array}{ccc}f & 1 & c\\12 & -2 & 2 \end{array}\right)$$
$$B = \left(\begin{array}{ccc}1 & 6 & 21\\-1 & d & a\\-2 & 7 & -3 \\4 & 12 & k \end{array}\right)$$

<問の解答>
行列\( A \)の大きさ:2×3型行列
(2,1)成分:12
(1,3)成分:c■

行列\( B \)の大きさ:4×3型行列
(2,1)成分:-1
(1,3)成分:21■

以上が行列とはという話です.
ではまとめに入りましょう!!

「行列とは?」まとめ

「行列とは?」まとめ

・行列とは?
行列とは,数を長方形に並べたもののことであり
行列の横の並びを行といい上から順に第1行、第2行、….第m行という.
行列の縦の並びを列といい上から順に第1列、第2列、….第n列という。
第ⅰ行と第j列の交点にある数\( a_{ij} \)のことを(ⅰ,j)成分という。

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